Objectifs :

Programme :
Introduction à la théorie analytique des nombres
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1. Analyse de Fourier discrète : application aux problèmes additifs (intervenante : Anne de ROTON)
(1) Analyse de Fourier discrète :
-propriétés
-liens avec les structures additives
-notion de biais linéaire, ensembles de Bohr, progressions arithmétiques
(2) Applications en combinatoire additive : ensembles sans progression
-théorème de Roth dans les entiers
-théorème de Roth dans les nombres premiers

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2. Introduction à la théorie des sommes d'exponentielles (intervenant : Thomas STOLL)
(1) Suites équiréparties modulo 1 :
-critère de Weyl
-discrépance et inégalité d'Erdös-Turàn
(2) Majoration des sommes d'exponentielles :
-méthode de Weyl : polynômes
-méthode de van der Corput : fonctions lisses
-méthode de Vinogradov : fonctions oscillantes
-méthode de Mordell fonctions mod p
-inégalité de Weil et sommes de Gauss
-fonctions exponentielles et répartition des fonctions mod p
-problème de Goldbach (Vinogradov)

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3.Sommes de caractères et applications (intervenant : Youness LAMZOURI) :
(1) Bornes pour les sommes de caractères :
-Sommes longues : Inégalité de Polya-Vinogradov
-Sommes courtes : Bornes de Burgess
-Bornes sous l'hypothèse de Riemann
-Inégalités du grand crible
(2) Applications :
-BoTaille du plus petit non-résidue quadratique
-Taille du plus petit premier dans une progression arithmétique
-Bornes de sous-convexité pour les fonctions L de Dirichlet

Equipe pédagogique :
Youness Lamzouri, Anne de Roton et Thomas Stoll